George Polya berühmte Zitate

Mathematik ist die billigste Wissenschaft. Im Gegensatz zu Physik oder Chemie benötigt es keine teure Ausrüstung. Alles, was man für Mathematik braucht, ist Bleistift und Papier.

Eine große Entdeckung löst ein großes Problem, aber in der Lösung jedes Problems steckt ein Körnchen Entdeckung. Ihr Problem mag bescheiden sein, aber wenn es Ihre Neugier herausfordert und Ihre erfinderischen Fähigkeiten ins Spiel bringt und Sie es mit Ihren eigenen Mitteln lösen, können Sie die Spannung erleben und den Triumph der Entdeckung genießen.

Wo soll ich anfangen? Beginnen Sie mit der Erklärung des Problems. ... Was kann ich tun? Visualisieren Sie das Problem als Ganzes so klar und anschaulich wie möglich. ... Was kann ich dadurch gewinnen? Sie sollten das Problem verstehen, sich damit vertraut machen, seinen Zweck in Ihren Kopf einprägen.

Selbst ziemlich gute Schüler, wenn sie die Lösung des Problems erhalten und das Argument ordentlich aufgeschrieben haben, schließen ihre Bücher und suchen nach etwas anderem. Damit verpassen sie eine wichtige und lehrreiche Phase der Arbeit. ... Ein guter Lehrer sollte verstehen und seinen Schülern die Ansicht vermitteln, dass kein Problem völlig erschöpft ist.

Schönheit in der Mathematik bedeutet, die Wahrheit ohne Anstrengung zu sehen.

Pedanterie und Meisterschaft sind gegensätzliche Einstellungen zu Regeln. Eine Regel starr und fraglos auf den Buchstaben anzuwenden, in Fällen, in denen sie passt, und in Fällen, in denen sie nicht passt, ist Pedanterie. [...] Eine Regel mit natürlicher Leichtigkeit und Urteilsvermögen anzuwenden, die Fälle zu bemerken, in denen sie passt, und ohne jemals die Worte der Regel den Zweck der Handlung oder die Möglichkeiten der Situation verschleiern zu lassen, ist Meisterschaft.

Wenn du Schwimmen lernen willst, musst du ins Wasser gehen und wenn du ein Problemlöser werden willst, musst du Probleme lösen.

Epitaph auf Newton: Natur und Naturgesetz lagen in der Nacht verborgen: Gott sagte: "Lass Newton sein!"und alles war hell. [hinzugefügt von Sir John Collings Squire: Es dauerte nicht lange: der Teufel rief "Ho. Lass Einstein sein,"stellte den Status quo wieder her] [Aaron Hills Version: Über die Naturgesetze warf Gott den Schleier der Nacht, blies die Seele eines Newtons aus und alles war hell.

Meine Methode, eine Schwierigkeit zu überwinden, besteht darin, sie zu umgehen.

Um einen Satz aus dem Englischen ins Französische zu übersetzen, sind zwei Dinge notwendig. Zuerst müssen wir den englischen Satz gründlich verstehen. Zweitens müssen wir mit den Ausdrucksformen vertraut sein, die der französischen Sprache eigen sind. Ganz ähnlich verhält es sich, wenn wir versuchen, eine in Worten vorgeschlagene Bedingung in mathematischen Symbolen auszudrücken. Zuerst müssen wir den Zustand gründlich verstehen. Zweitens müssen wir mit den Formen des mathematischen Ausdrucks vertraut sein.

Probleme zu lösen ist eine praktische Fähigkeit, wie zum Beispiel Schwimmen. Wir erwerben jede praktische Fähigkeit durch Nachahmung und Übung. Wenn Sie versuchen zu schwimmen, ahmen Sie nach, was andere Menschen mit ihren Händen und Füßen tun, um ihren Kopf über Wasser zu halten, und schließlich lernen Sie schwimmen, indem Sie Schwimmen üben. Beim Versuch, Probleme zu lösen, muss man beobachten und nachahmen, was andere Menschen beim Lösen von Problemen tun, und schließlich lernt man, Probleme zu lösen, indem man sie tut.

Wenn es ein Problem gibt, das Sie nicht lösen können, dann gibt es ein einfacheres Problem, das Sie nicht lösen können: Finden Sie es.

Die erste Stilregel ist, etwas zu sagen zu haben. Die zweite Stilregel ist, sich selbst zu kontrollieren, wenn Sie zufällig zwei Dinge zu sagen haben. sag zuerst eins, dann das andere, nicht beides gleichzeitig.

Ich bin zu gut für Philosophie und nicht gut genug für Physik. Mathematik liegt dazwischen.

Mathematik ist kein Zuschauersport!

Mathematik besteht darin, das Offensichtlichste auf die am wenigsten offensichtliche Weise zu beweisen.

Der Erfolg bei der Lösung des Problems hängt von der Wahl des richtigen Aspekts ab, vom Angriff auf die Festung von ihrer zugänglichen Seite.

Es ist besser, ein Problem auf fünf verschiedene Arten zu lösen, als fünf Probleme auf eine Weise zu lösen.

Mathematik hat zwei Gesichter: Es ist die strenge Wissenschaft von Euklid, aber es ist auch etwas anderes. Mathematik, die auf euklidische Weise präsentiert wird, erscheint als systematische, deduktive Wissenschaft; aber Mathematik im Entstehen erscheint als experimentelle, induktive Wissenschaft. Beide Aspekte sind so alt wie die Wissenschaft der Mathematik selbst.

Euklids Darstellungsweise, die unerbittlich von den Daten zum Unbekannten und von der Hypothese zur Schlussfolgerung fortschreitet, ist perfekt, um das Argument im Detail zu überprüfen, aber bei weitem nicht perfekt, um die Hauptlinie des Arguments verständlich zu machen.

Analogie durchdringt unser gesamtes Denken, unsere Alltagssprache und unsere trivialen Schlussfolgerungen ebenso wie künstlerische Ausdrucksweisen und höchste wissenschaftliche Leistungen.

Um diese Differentialgleichung zu lösen, schaust du sie an, bis dir eine Lösung einfällt.

In der "Commentatio" (Notiz an die Russische Akademie), in der sein Satz über Polyeder (über die Anzahl der Flächen, Kanten und Eckpunkte) erstmals veröffentlicht wurde, gibt Euler keinen Beweis an. Anstelle eines Beweises bietet er ein induktives Argument an: Er verifiziert die Beziehung in einer Vielzahl von Spezialfällen. Es besteht kaum ein Zweifel daran, dass er den Satz, wie viele seiner anderen Ergebnisse, auch induktiv entdeckte.

Ich vermeide absichtlich den Standardbegriff, den es zu Eulers Zeiten übrigens nicht gab. Einer der hässlichsten Auswüchse der "neuen Mathematik" war die verfrühte Einführung von Fachbegriffen.

Ein Mathematiker, der nur verallgemeinern kann, ist wie ein Affe, der nur auf einen Baum klettern kann, und ein Mathematiker, der sich nur spezialisieren kann, ist wie ein Affe, der nur auf einen Baum klettern kann. Tatsächlich ist weder der Aufwärts- noch der Abwärts-Affe eine lebensfähige Kreatur. Ein echter Affe muss Nahrung finden und seinen Feinden entkommen und so unaufhörlich auf und ab klettern können. Ein echter Mathematiker muss generalisieren und spezialisieren können.

Hilbert hatte einmal einen Mathematikstudenten, der nicht mehr zu seinen Vorlesungen kam, und ihm wurde schließlich gesagt, der junge Mann sei gegangen, um Dichter zu werden. Hilbert soll bemerkt haben: 'Ich hätte nie gedacht, dass er genug Vorstellungskraft hat, um Mathematiker zu werden.'

Das Prinzip ist so vollkommen allgemein, dass keine besondere Anwendung möglich ist.

Die erste und wichtigste Aufgabe des Gymnasiums im Mathematikunterricht ist es, methodische Arbeit bei der Problemlösung zu betonen...Der Lehrer, der allen seinen Schülern, zukünftigen Nutzern und Nichtnutzern der Mathematik, gleichermaßen dienen möchte, sollte das Problemlösen so lehren, dass es sich um ein Drittel Mathematik und zwei Drittel gesunden Menschenverstand handelt.

Richtig zu schreiben und zu sprechen ist sicherlich notwendig; aber es reicht nicht aus. Eine im Buch oder an der Tafel korrekt dargestellte Ableitung kann unzugänglich und unlehrreich sein, wenn der Zweck der aufeinanderfolgenden Schritte unverständlich ist, wenn der Leser oder Zuhörer nicht verstehen kann, wie es menschlich möglich war, ein solches Argument zu finden....

Eine Idee, die einmal verwendet werden kann, ist ein Trick. Wenn es mehr als einmal verwendet werden kann, wird es zu einer Methode.

Die beste Idee wird durch unkritische Akzeptanz verletzt und lebt von kritischer Auseinandersetzung.

Eine GROßARTIGE Entdeckung löst ein großes Problem, aber in jedem Problem steckt ein Körnchen Entdeckung.

Die Eleganz eines mathematischen Satzes ist direkt proportional zur Anzahl der unabhängigen Ideen, die man im Satz sehen kann, und umgekehrt proportional zu dem Aufwand, den es erfordert, sie zu sehen.

Die Welt ist bestrebt, diesen Höhepunkt und Höhepunkt der modernen Mathematik zu bewundern: einen Satz, der so vollkommen allgemein ist, dass keine besondere Anwendung möglich ist.

Sehr oft, wenn sich eine Idee ergibt, die hilfreich sein könnte, schätzen wir sie nicht, weil sie so unauffällig ist. Der Experte hat vielleicht nicht mehr Ideen als der Unerfahrene, schätzt aber mehr, was er hat und nutzt es besser.

Um effektiv zu unterrichten, muss ein Lehrer ein Gefühl für sein Fach entwickeln; er kann seine Schüler nicht seine Vitalität spüren lassen, wenn er sie nicht selbst spürt. Er kann seine Begeisterung nicht teilen, wenn er keine Begeisterung zu teilen hat. Wie er seinen Standpunkt vertritt, kann genauso wichtig sein wie der Punkt, den er vorbringt; Er muss es persönlich für wichtig halten.

Der Lehrer kann es sich selten leisten, die Fragen zu verpassen: Was ist das Unbekannte? Was sind die Daten? Was ist die Bedingung? Der Student sollte die Hauptteile des Problems aufmerksam, wiederholt und von verschiedenen Seiten betrachten.

Eine der ersten und wichtigsten Pflichten des Lehrers besteht darin, seinen Schülern nicht den Eindruck zu vermitteln, dass mathematische Probleme wenig miteinander und überhaupt keine Verbindung zu irgendetwas anderem haben. Wir haben die natürliche Gelegenheit, die Zusammenhänge eines Problems zu untersuchen, wenn wir auf seine Lösung zurückblicken.

Wenn Sie das vorgeschlagene Problem nicht lösen können, versuchen Sie zuerst, ein verwandtes Problem zu lösen.

Es gibt viele Fragen, die Narren stellen können, die weise Männer nicht beantworten können.

Die erste Entdeckungsregel lautet, Verstand und viel Glück zu haben. Die zweite Entdeckungsregel ist, festzusitzen und zu warten, bis Sie eine gute Idee haben.

Wenn sie zur falschen Zeit oder am falschen Ort eingeführt wird, kann gute Logik der schlimmste Feind guten Unterrichts sein.

Mathematik ist faul. Mathematik bedeutet, die Prinzipien die Arbeit für Sie erledigen zu lassen, damit Sie die Arbeit nicht selbst erledigen müssen

Geometrie ist die Wissenschaft des richtigen Denkens über falsche Zahlen.

Das offene Geheimnis echten Erfolgs besteht darin, Ihre ganze Persönlichkeit in Ihr Problem zu werfen.

In Zürich gab es ein Seminar für Fortgeschrittene, das ich unterrichtete, und von Neumann war in der Klasse. Ich bin zu einem bestimmten Satz gekommen, und ich sagte, es ist nicht bewiesen und es könnte schwierig sein. Von Neumann sagte nichts, aber nach fünf Minuten hob er die Hand. Als ich ihn anrief, ging er zur Tafel und schrieb den Beweis auf. Danach hatte ich Angst vor von Neumann.

Wenn der Beweis von Axiomen ausgeht, unterscheidet er mehrere Fälle und nimmt dreizehn Zeilen im Lehrbuch ein ... es kann den Jugendlichen den Eindruck vermitteln, dass Mathematik darin besteht, die offensichtlichsten Dinge auf die am wenigsten offensichtliche Weise zu beweisen.

Der zukünftige Mathematiker ... sollte Probleme lösen, die Probleme auswählen, die in seiner Linie liegen, über ihre Lösung meditieren und neue Probleme erfinden. Auf diese und auf alle anderen Weise sollte er sich bemühen, seine erste wichtige Entdeckung zu machen: Er sollte seine Vorlieben und Abneigungen, seinen Geschmack, seine eigene Linie entdecken.

Schauen Sie sich um, wenn Sie Ihren ersten Pilz haben oder Ihre erste Entdeckung gemacht haben: Sie wachsen in Trauben.

Wenn Sie einen Satz beweisen müssen, beeilen Sie sich nicht. Verstehen Sie zunächst vollständig, was der Satz sagt, und versuchen Sie klar zu erkennen, was er bedeutet. Dann überprüfe den Satz; Es könnte falsch sein. Untersuchen Sie die Konsequenzen, überprüfen Sie so viele Einzelfälle, wie nötig sind, um sich von der Wahrheit zu überzeugen. Wenn Sie sich davon überzeugt haben, dass der Satz wahr ist, können Sie damit beginnen, ihn zu beweisen.