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Sie ist neben Sprache und Musik eine der primären Erscheinungsformen der freien schöpferischen Kraft des menschlichen Geistes und das universelle Organ für die Weltverständigung durch theoretische Konstruktion. Mathematik muss daher ein wesentliches Element des Wissens und der Fähigkeiten bleiben, die wir vermitteln müssen, der Kultur, die wir an die nächste Generation weitergeben müssen.
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Mathematik hat die unmenschliche Qualität von Sternenlicht, brillant und scharf, aber kalt.
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Bevor Sie verallgemeinern, formalisieren und axiomatisieren, muss mathematische Substanz vorhanden sein.
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Mathematik ist neben Sprache und Musik eine der primären Erscheinungsformen der freien schöpferischen Kraft des menschlichen Geistes.
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Mathematik kann man nicht anwenden, solange Wörter noch die Realität trüben.
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Unsere Mathematik der letzten Jahrzehnte hat sich in Verallgemeinerungen und Formalisierungen gewälzt.
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Gott existiert, weil die Arithmetik konsistent ist - der Teufel existiert, weil wir es nicht beweisen können!
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Logik ist die Hygiene, die der Mathematiker praktiziert, um seine Ideen gesund und stark zu halten.
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Mathematik ist nicht das starre und starrheitserzeugende Schema, für das der Laie es hält; Vielmehr befinden wir uns in ihr an dem Treffpunkt von Zwang und Freiheit, der das Wesen der menschlichen Natur ausmacht.
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In geometrischen und physikalischen Anwendungen stellt sich immer heraus, dass eine Größe nicht nur durch ihre Tensorordnung, sondern auch durch Symmetrie gekennzeichnet ist.
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Aber es scheint eine Ironie der Schöpfung zu sein, dass der Verstand des Menschen mit Dingen umso besser umzugehen weiß, je weiter sie vom Zentrum seiner Existenz entfernt sind. So sind wir am klügsten, wo Wissen am wenigsten zählt....
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Die Konstrukte des mathematischen Verstandes sind gleichzeitig frei und notwendig. Der einzelne Mathematiker fühlt sich frei, seine Begriffe zu definieren und seine Axiome nach Belieben aufzustellen. Aber die Frage ist, ob er seinen Mathematikerkollegen für die Konstrukte seiner Vorstellungskraft interessieren wird. Wir können uns des Gefühls nicht erwehren, dass bestimmte mathematische Strukturen, die sich durch die gemeinsamen Anstrengungen der mathematischen Gemeinschaft entwickelt haben, den Stempel einer Notwendigkeit tragen, die nicht von den Zufällen ihrer historischen Geburt beeinflusst wird.
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Die Frage nach den letzten Grundlagen und dem letzten Sinn der Mathematik bleibt offen; wir wissen weder, in welche Richtung sie ihre endgültige Lösung finden wird, noch ob überhaupt eine endgültige objektive Antwort zu erwarten ist. "Mathematisieren" kann durchaus eine schöpferische Tätigkeit des Menschen sein, wie Sprache oder Musik, von primärer Originalität, deren historische Entscheidungen sich einer vollständigen objektiven Rationalisierung entziehen.
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Nicht nur in der Geometrie, sondern in noch erstaunlicherem Maße in der Physik ist es immer offensichtlicher geworden, dass wir, sobald es uns gelungen ist, die Naturgesetze, die die Realität regieren, vollständig zu entschlüsseln, sie durch mathematische Beziehungen von überraschender Einfachheit und architektonischer Perfektion ausdrücken können. Es scheint mir eines der Hauptziele des mathematischen Unterrichts zu sein, die Fähigkeit zu entwickeln, diese Einfachheit und Harmonie wahrzunehmen.
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Die Einführung von Zahlen als Koordinaten ist ein Akt der Gewalt.
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Unser Bundeseinkommensteuergesetz definiert die zu zahlende Steuer y in Bezug auf das Einkommen x; Dies geschieht auf ungeschickte Weise, indem mehrere lineare Funktionen zusammengefügt werden, die jeweils in einem anderen Intervall oder einer anderen Einkommensgruppe gültig sind. Ein Archäologe, der in fünftausend Jahren einige unserer Einkommensteuererklärungen zusammen mit Relikten von Ingenieurarbeiten und mathematischen Büchern ausgraben wird, wird sie wahrscheinlich ein paar Jahrhunderte früher datieren, sicherlich vor Galileo und Vieta.
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... zahlen haben weder Substanz noch Bedeutung noch Eigenschaften. Sie sind nichts als Zeichen, und alles, was in ihnen ist, haben wir durch die einfache Regel der geraden Abfolge in sie eingefügt.
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Ein moderner mathematischer Beweis unterscheidet sich nicht wesentlich von einer modernen Maschine oder einem modernen Versuchsaufbau: Die einfachen Grundprinzipien sind unter einer Masse technischer Details verborgen und fast unsichtbar.
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Es ist unmöglich, den Realismus in der Logik zu diskutieren, ohne die empirischen Wissenschaften einzubeziehen... Eine wahrhaft realistische Mathematik sollte im Einklang mit der Physik als Zweig der theoretischen Konstruktion der einen realen Welt aufgefasst werden und die gleiche nüchterne und vorsichtige Haltung gegenüber hypothetischen Erweiterungen ihrer Grundlagen einnehmen, wie sie die Physik aufweist.
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Wir sind nicht sehr erfreut, wenn wir gezwungen sind, eine mathematische Wahrheit aufgrund einer komplizierten Kette formaler Schlussfolgerungen und Berechnungen zu akzeptieren, die wir blind durchlaufen, Glied für Glied, uns durch Berührung zu tasten. Wir wollen zuerst einen Überblick über das Ziel und den Weg; Wir wollen die Idee des Beweises, den tieferen Kontext verstehen.
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Ohne die Konzepte, Methoden und Ergebnisse, die von früheren Generationen bis in die griechische Antike gefunden und entwickelt wurden, kann man weder die Ziele noch die Errungenschaften der Mathematik in den letzten 50 Jahren verstehen. [Sagte 1950]
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Man könnte sagen, dass die Mathematik über die Dinge spricht, die den Menschen nichts angehen. Mathematik hat die unmenschliche Qualität von Sternenlicht - brillant, scharf, aber kalt ... damit sind wir am klarsten dort, wo Wissen am wenigsten zählt: in der Mathematik, insbesondere in der Zahlentheorie.
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Symmetrie, so weit oder so eng Sie ihre Bedeutung definieren mögen, ist eine Idee, mit der der Mensch im Laufe der Jahrhunderte versucht hat, Ordnung, Schönheit und Perfektion zu verstehen und zu schaffen.
