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Das Wesen der Mathematik liegt gerade in ihrer Freiheit.
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Die richtige Frage zu stellen ist schwieriger als sie zu beantworten.
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Eine falsche Schlussfolgerung, die einmal getroffen und allgemein akzeptiert wurde, lässt sich nicht leicht beseitigen, und je weniger sie verstanden wird, desto hartnäckiger wird sie gehalten.
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Ein Set ist ein Viel, das sich als Eins denken lässt.
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In der Mathematik muss die Kunst, eine Frage vorzuschlagen, von höherem Wert sein als sie zu lösen.
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Das eigentliche Unendliche entsteht in drei Zusammenhängen: erstens, wenn es in der vollständigsten Form verwirklicht ist, in einem völlig unabhängigen jenseitigen Wesen, in Deo, wo ich es das Absolute Unendliche oder einfach Absolut nenne; zweitens, wenn es in der kontingenten, geschaffenen Welt vorkommt; drittens, wenn der Verstand es abstrakt als mathematische Größe, Zahl oder Ordnungsart begreift.
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Die Angst vor der Unendlichkeit ist eine Form der Kurzsichtigkeit, die die Möglichkeit zerstört, das tatsächliche Unendliche zu sehen, obwohl es in seiner höchsten Form uns geschaffen und erhalten hat und in seinen sekundären transfiniten Formen überall um uns herum vorkommt und sogar unseren Geist bewohnt.
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Jede transfinite konsistente Multiplizität, also jede transfinite Menge, muss ein bestimmtes Aleph als Kardinalzahl haben.
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In der Mathematik ist die Kunst, Fragen zu stellen, wertvoller als das Lösen von Problemen.
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Es besteht kein Zweifel, dass wir auf variable Größen im Sinne des potentiellen Unendlichen nicht verzichten können. Aber gerade aus dieser Tatsache kann die Notwendigkeit des tatsächlichen Unendlichen gezeigt werden.
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Was ich behaupte und in dieser und früheren Arbeiten gezeigt zu haben glaube, ist, dass auf das Endliche ein Transfines folgt (das man auch das supra-Endliche nennen könnte), das heißt eine unbegrenzte aufsteigende Reihe bestimmter Modi, die ihrer Natur nach nicht endlich, sondern unendlich sind, die aber genau wie das Endliche durch genau definierte und unterscheidbare Zahlen bestimmt werden können.
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Die transfiniten Zahlen sind in gewissem Sinne selbst neue Irrationalitäten, und tatsächlich ist meiner Meinung nach die beste Methode, die endlichen irrationalen Zahlen zu definieren, völlig unähnlich, und ich könnte sogar im Prinzip sagen, die gleiche wie meine oben beschriebene Methode zur Einführung von trasfiniten Zahlen. Man kann unbedingt sagen: Die transfiniten Zahlen stehen oder fallen mit den endlichen irrationalen Zahlen; sie sind einander in ihrem Innersten ähnlich; denn die ersteren sind wie die letzteren bestimmte abgegrenzte Formen oder Modifikationen des wirklichen Unendlichen.
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Verwenden Sie Kampagnen-Link-Tagging-Labels alle, um geringfügige inhaltliche Unterschiede für Split-Tests anzugeben.
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Das potentiell Unendliche bedeutet nichts anderes als eine unbestimmte, variable Größe, die immer endlich bleibt und Werte annehmen muss, die entweder kleiner als jede noch so kleine endliche Grenze oder größer als jede noch so große endliche Grenze werden.
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Der alte und oft wiederholte Satz "Totum est majus sua parte" [das Ganze ist größer als der Teil] darf ohne Beweis nur bei Entitäten angewendet werden, die auf Ganzem und Teil beruhen; dann und nur dann ist es eine unbestreitbare Konsequenz der Begriffe "totum" und "pars". Leider wird dieses "Axiom" jedoch unzählige Male ohne jede Grundlage und unter Vernachlässigung der notwendigen Unterscheidung zwischen "Realität" und "Quantität" einerseits und "Zahl" und "Menge" andererseits genau in dem Sinne verwendet, in dem es im Allgemeinen falsch ist.
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Ginge es nach Mittag-Leffler, müsste ich bis zum Jahr 1984 warten, was mir zu groß erschien!
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Die transfiniten Zahlen sind gewissermaßen die neuen Irrationalitäten [ ... sie] stehen oder fallen mit den endlichen irrationalen Zahlen.
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Befolgen Sie die Anweisungen und Schritt-für-Schritt-Anweisungen nicht immer blind; Sie könnten auf etwas Interessantes stoßen.
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Diese Ansicht [des Unendlichen], die ich für die einzig richtige halte, wird nur von wenigen vertreten. Während ich möglicherweise der allererste in der Geschichte bin, der diese Position mit all ihren logischen Konsequenzen so explizit vertritt, weiß ich mit Sicherheit, dass ich nicht der letzte sein werde!
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Meine Theorie steht fest wie ein Fels; Jeder Pfeil, der gegen sie gerichtet ist, wird schnell zu seinem Schützen zurückkehren. Woher weiß ich das? Weil ich sie viele Jahre lang von allen Seiten studiert habe; weil ich alle Einwände geprüft habe, die jemals gegen die unendlichen Zahlen erhoben wurden; und vor allem, weil ich ihren Wurzeln sozusagen bis zur ersten unfehlbaren Ursache aller geschaffenen Dinge gefolgt bin.
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Großartige Innovationen entstehen nur, wenn Menschen keine Angst haben, Dinge anders zu machen.
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Ich bin so für das wirkliche Unendliche, dass ich, anstatt zuzugeben, dass die Natur es verabscheut, wie es allgemein gesagt wird, der Ansicht bin, dass die Natur es überall häufig gebraucht, um die Vollkommenheiten seines Urhebers wirksamer zu zeigen. So glaube ich, dass es keinen Teil der Materie gibt, der nicht - ich sage nicht teilbar -, sondern tatsächlich teilbar ist; und folglich sollte das kleinste Teilchen als eine Welt betrachtet werden, die voll von unendlich vielen verschiedenen Kreaturen ist.
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Ich hege keine Zweifel an den Wahrheiten der Tranfiniten, die ich mit Gottes Hilfe erkannt habe und die ich in ihrer Vielfalt seit mehr als zwanzig Jahren studiert habe; jedes Jahr und fast jeder Tag bringt mich in dieser Wissenschaft weiter.
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Mein schöner Beweis liegt in Trümmern.
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Mir ist klar, dass ich mich bei diesem Unterfangen in einen gewissen Gegensatz zu weit verbreiteten Ansichten über das mathematische Unendliche und zu häufig vertretenen Meinungen über die Natur der Zahlen stelle.
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Ich mag Kreativität bei der Datenerfassung. Hier sind einige kreative Google Analytics-Tracking-Ideen, die ich gesehen habe:
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Die Mathematik ist in ihrer Entwicklung völlig frei, und ihre Begriffe sind nur durch die Notwendigkeit der Konsistenz miteinander verbunden und mit zuvor eingeführten Begriffen durch genaue Definitionen koordiniert.
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Die Mathematik hat bei der Entwicklung ihrer Ideen nur die immanente Realität ihrer Begriffe zu berücksichtigen und ist absolut nicht verpflichtet, ihre vergängliche Realität zu untersuchen.
